Transvektion

Beschreibung

Transvektionen verallgemeinern die Translation auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Definition

Sei $c:\mathbb{R}\to M$ eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) mit $m=c(0),q=c(s)$. Eine Transvektion ist definiert durch eine doppelte Globale Geodätische Spiegelung ${\tau }_{2s}:=s_q\circ s_m$ Sie erfüllt ${\tau }_{2s}(c(t))=c(t+2s)$ und $d{\tau }_{2s}=P_{c(t)}^{c(t+2s)}$.

Für jede Geodätische in einer Mannigfaltigkeit existiert also eine Einparametrige Untergrupe ${\tau }_t\subseteq G$, dessen Ableitung der Paralleltransport ist.

Eigenschaften

Bilden 1-Parameter Gruppe

Transvektionen ${\tau }_s$ bilden eine Einparametrige Gruppe

Tip

Alle Transvektionen von Geodätischen durch $p$ definieren eine Untermannigfaltigkeit von $G$ aber nicht notwendigerweise eine Untergruppe.