Lokale Isometrie (Riemannsche Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Wir Verallgemeinern das Konzept der Isometrie auf Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Definition

Eine glatte Abbildung $f:(M,g)\to (N,h)$ zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist eine lokale Isometrie wenn $\forall p\in M:g_p(v,w)=h_{f(p)}(df(v),df(w))\text{ oder }h=f_{\ast }g$ und $f$ ein Lokaler Diffeomorphismus.

Eigenschaften

Glatte Abbildungen sind lokal isometrisch

Ist $dim(M)=dim(N)$, so ist jede glatte Abbildung mit der oberen Eigenschaft eine lokale Isometrie.

Wirkung auf Levi-Cevita-Zusammenhang

Sei $f:(M,g)\to (N,h)$ eine Isometrie und ${\nabla }^g,{\nabla }^h$ die Levi-Cevita-Zusammenhänge der beiden Mannigfaltigkeiten. Dann gilt $df({\nabla }_X^{g}Y)={\nabla }_{f_{\ast }{X}^h}{f}_{\ast }Y$

Parallelität

Sei $f:(M,g)\to (N,h)$ eine lokale Isometrie und $V(t)$ ein Vektorfeld entlang einer Kurve $\gamma :[a,b]\to N$. Wir konstruieren nun eine dazugehörige Kurve $\tilde{\gamma }:[a,b]\to M$ auf $M$. Dazu wählen wir einen Punkt $p\in M$ und setzen den Fußpunkt von $\tilde{\gamma }$, sodass $f(p)=f(\tilde{\gamma }(a))=\gamma (a)$. Dann ist $\tilde{\gamma }$ eindeutig durch $f(\tilde{\gamma })=\gamma$ festgelegt.

Sei $v\in T_{\gamma (a)}N$ gegeben. Definiere ein dazugehöriges $\tilde{v}=(d_p{f}^{-1})(v)$. Dann erhält $f$ den Paralleltransport. D.h. $P^{\gamma }(v)=(d_{\tilde{\gamma }(b)}f)(P^{\tilde{\gamma }}(\tilde{v}))$

Damit kann man Paralleltransport auf Quotientenmannigfaltigkeiten durchführen

Überlagerung

Sei $f:(M,g)\to (N,h)$ eine lokale Isometrie und $M$ vollständig. Dann ist $N$ auch vollständig und $f$ ist eine Überlagerung.

Beweis: Nach einem Satz ist eine Mannigfaltigkeit vollständig, wenn alle Geodätischen auf alle Zeit definiert sind. Jede Geodätische von $N$ kann durch $f$ auf $M$ gehoben werden und dort verlängert werden. Dann kann man die Geodätische wieder nach unten senken.