Beschreibung
Wir nehmen den Raum der messbaren Blätterungen und identifizieren alle Blätterungen, deren Messfunktion ein Vielfaches voneinander ist. Dies ergibt den projektiven Raum der messbaren Blätterungen.
Die Eigenschaften in diesem Artikel und in dem Artikel für Raum der projektiven messbaren Laminierungen sind effektiv gleich! Vielleicht will ich dort vorbeischauen
Definition
Sei eine Fläche mit negativer Charakteristik. Zwei messbare Blätterungen werden identifiziert, wenn ihre Messfunktion sich um ein Vielfaches unterscheidet für . Der resultierende Raum wird der projektive Raum der messbaren Blätterungen genannt.
Eigenschaften
Satz: Stetige Abbildung auf Sphäre
Es gibt eine stetige, surjektive Abbildung von projektiven Raum der messbaren Blätterungen auf eine -dimensionale Sphäre.
Sei eine geschlossene Fläche mit markierten Punkten (die wir als Punktierungen verstehen). Sei die Menge der Isotopieklassen von einfachen, essentiellen Kurven in . Definiere eine Inklusionsabbildung wie folgt: \begin{align} i: \mathcal{MF}(S) &\to \mathbb{R}^{\mathcal{C}}\\ (\mathcal{F}, \mu) &\mapsto f:\mathcal{C} \to \mathbb{R}, [\alpha] \mapsto \inf\{\mu(\beta): \beta\in [\alpha]\}\end{align} Diese bildet messbare Blätterungen auf Funktionen ab, die essentielle Kurven messen. Als nächstes projizieren das auf den projektiven Raum der Funktionen , in dem zwei Funktionen als gleich wahrgenommen werden, wenn sie sich um einen Faktor unterscheiden. Dies induziert eine wohldefinierte Abbildung
Die Abbildung ist eine Bijektion und das Bild dieser Abbildung ist homöomorph zu einer Sphäre von Dimension .
Aus oberem Satz folgt direkt, dass der Raum ungerade ist.