Fast-sichere Konvergenz

Beschreibung

Die $P$-Fast-Sichere ist eine Art konvergierende Folgen von Vergröberungen zu beschreiben. Die Fast-Sichere Konvergenz taucht bei der Beschreibung des Starkes Gesetz der großen Zahlen auf. Im wesentlichen handelt besagt, die Aussage, dass die Verteilung fast-überall punktweise gegen eine andere Zufallsvariable konvergiert.

Definition

Sei $X_n$ eine Folge von Vergröberungen und $X$ eine Vergröberung. Wir schreiben $X_n\stackrel{P.f.s}{\to }X:⟺P(X_n\to X)=P(\{\omega \in \Omega :{\lim }_{n\to \infty }{X}_n(\omega )=x\})=1$

Eigenschaften

Impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Die Fast-sichere Konvergenz ist stärker als die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.

Beispiele

Durchschnittliches Eintreten eines Bernoulli-Experiments

Seien $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ unabhängige Ereignisse sodass $P(A_{n)}=p\in [0,1]$, dann gilt: $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{1}_{A_n}\stackrel{P.f.s.}{\to }p$