Orbit-Stabilisator-Satz

Definition

Carter

Sei $G$ eine Gruppe, die auf $S$ operiert. Für jedes $s\in S$ gilt: $|Orb(s)|\cdot |Stab(s)|=|G|$ D.h. das Produkt aus Orbit (Gruppenoperation) und Stabilisator hat die Größe einer Gruppe.

Gerkmann

Sei $G$ eine Gruppe, die auf $X$ operiert und sei $x\in X$. Dann gibt es eine Bijektion ${\varphi }_x:G/G_x\to G(x)$ mit ${\varphi }_x(g{G}_x)=g\cdot x$ für alle $g\in G$. Ist insbesondere $X$ endlich, dann ist auch der Index $(G:G_x)$ endlich und es gilt $(G:G_x)=|G(x)|$

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