Zugstrecke des durchbohrten Torus

--- veranstaltung: “2023WiSe Forschung FrontierLab” typ: Mathematikartikel

Beschreibung

Im Folgenden untersuchen wir die Zugstrecken des einfach durchbohrten Torus. Diese ist übrigens die gleiche der Zugstrecke für den normalen (nicht-durchbohrten) Torus.

Definition

Es ist bekannt, dass die Abbildungsklassengruppe des Torus isomorph zu $SL(\mathbb{Z},2)$ ist. Die Matrix beschreibt hierbei die Bilder von der geschlossenen Meridian und Longitudinalkurve. Auf den einfach punktierten Torus reduziert erhalten wir ebenfalls die Modulare Gruppe $SL(\mathbb{Z},2)$ als Abbildungsklassengruppe. Die Determinante der modularen Gruppe ist $1$. Folglich lassen sich die beiden Spalten als Farey-Intervalle lesen Sei $\left[\frac{b}{a},\frac{d}{c}\right]$ ein Farey-Intervall. Wir konstruieren daraus induktiv eine Zugstrecke auf dem Torus. Die Idee ist hier, dass die kleinen Zweige die Bilder der Basiskurven auf dem Torus unter der Matrix $\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ sind. Folglich gibt es immer genau einen Schnittpunkt und an diesem setzen wir einen großen Zweig. Definiere ${\tau }_0={\tau }_{[\frac{0}{1},\frac{1}{0}]}$ wie im Bild. Wir nutzen einen Vektor $\mu =(x,y)$, um die Gewichte der beiden kleinen Zweige zu beschreiben. Wendet man auf dem eindeutigen großen Zweig eine Linksspaltung an, so erhält man: ${\tau }_{\left[\frac{b}{a},\frac{d}{c}\right]}\rightharpoonup {\tau }_{\left[\frac{b}{a}+\frac{d}{c},\frac{d}{c}\right]}$ Analoges ist auch bei Rechtsspaltungen möglich. Der Beweis ist hier gezeigt: Eine Links- bzw. Rechtsspaltung ist natürlich nur dann maximal, wenn die Gewichte passend sind. Allerdings können wir eine irrationale Zahl finden, die man als Grenzwert durch wiederholtes Folgen von $L,R$-Bewegungen im Farey-Graph erhält. Wählt man die Gewichte der beiden kleinen Zugstrecken im Verhältnis dieser irrationalen Zahl, so ist das Ergebnis eine Zugstrecke, deren Zykellänge genau der Anzahl an $L,R$ entspricht.

Jedenfalls. ${\tau }_0$ ist für alle pseudo-Anosovschen Abbildungen eine Zugstrecke, die in den Agol Zykel liegt. Je nach Abbildung unterscheiden sich allerdings die Gewichte.

Hängt das ganze mit der Dilatation der pA-Abbildung zusammen? Die Dilatation ist der Eigenwert der Matrix $A\in SL(\mathbb{Z},2)$. $s$ hingegen ist die irrationale Zahl, die man erhält, wenn man das zu $A$ zugehörige Farey-Intervall als periodischen Kettenbruch schreibt. Das ist die Steigung des Eigenvektors! Kann man $s$ irgendwie verallgemeinern?

Frage:

Ist es möglich, oberes $s$ auf beliebige Flächen zu verallgemeinern?

Eigenschaften

Satz:

Beispiele

Beispiel: Kurvenkomplex des Torus

Die Menge der Isotopieklassen geschlossener, essentieller Kurven des Torus sind genau die rationalen Steigungen.
Auf dem Torus haben zwei Kurven verschiedenerr Graph sieht damit auen Zahlen. Sofern man orientierte Kurve betrachtet.