Beschreibung
Die Dowker Notation ist eine Möglichkeit, die Reguläre Projektion (Knoten) eines Alternierender Knoten oder Knoten zu beschreiben.
Definition Alternierende Knoten
Sei ein alternierender Knoten in der regulären Projektion. Wähle eine Orientierung auf dem Knoten. Laufe nun durch den Knoten und nummeriere alle Kreuzungen. Kommt man am Anfang wieder an, hat man eine gerade Anzahl von Kreuzungen gezählt und jede Kreuzung ist durch eine Gerade und durch eine Ungerade Zahl beschriftet. Schreibt man nun alle Gerade Zahlen in der Reihenfolge der zugeordneten ungeraden Zahlen auf, so lässt sich aus der resultierenden Zahlenkette der Knoten reproduzieren.
Bei alternierenden Knoten muss man sich nicht merken, wie die Ober- und Unterführungen sind, da sie sich sowieso abwechseln. Dies ist bei allgemeinen Knoten allerdings anders.
Definition allgemeiner Knoten
Sei ein Knoten. Führe den gleichen Algorithmus wie oben durch. Jedes mal, wenn man beim Zählen einer geraden Zahl durch eine Unterführung geht, notieren wir die Zahl jedoch mit einem Minus. Aus der Kette lässt sich damit der Knoten rekonstruieren.
Eigenschaften
Zusammengesetzter Knoten
Es ist möglich, einen zusammengesetzten Knoten aus der Dowker Notation zu erkennen. Besitzt die Notation Teilbereiche, die eine Permutation der aufsteigenden Geraden Zahlen sind, so lässt sich der Knoten aus zwei Knoten zusammensetzen. Beispielweise ist dies bei setzt sich zusammen aus den zwei Permutationen und . Der resultierende Knoten ist eine Komposition der durch die Teilpermutationen definierten Knoten.
Keine Eindeutigkeit
Rekonstruiert man einen Knoten aus der Notation gibt es manchmal verschiedene Möglichkeiten, das zu tun. Ist der Knoten ein Primknoten, so können die beiden Spiegelbilder herauskommen. Ist der Knoten zusammengesetzt, so gibt es mehrere mögliche Knoten, wobei sich die Faktorknoten um Spiegelbilder unterscheidKnotBook1994]]