Untermannigfaltigkeit

Beschreibung

Eine Untermannigfaltigkeit ist eine Teilmenge der ursprünglichen Mannigfaltigkeit, die die Karten der Elternmannigfaltigkeit übernimmt.

Definition

Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge $N\subseteq M$ wird $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit genannt, wenn für jedes $p\in N$ eine Umgebung $U$ und ein Diffeomorphismus $\varphi :U\to V$ existiert, sodass $\varphi (U\cap N)=V\cap ({\mathbb{R}}^k\times \{0{\}}^{n-k})$

Eigenschaften

Beziehung von $M,N$ wird zum Tangentialbündel vererbt

Ist $N\subseteq M$ eine Untermannigfaltigkeit, so ist auch der Tangentialbündel $TN\subseteq TM$ eine Untermannigfaltigkeit.

Beispiele

Kegel

Der Kegel ist keine Untermannigfaltigkeit des $R^3$. Er ist allerdings eine glatte Mannigfaltigkeit, denn es gibt eine Karte, die den Kegel auf eine Fläche projeziiert.