Homogener Raum

Beschreibung

Ein Homogener Raum ist ein Raum, der durch eine Gruppe beschreibbar ist. Ich würde sagen, es ist eine Verallgemeinerung der Lie Gruppe.

Definition (Hensel)

$(M,g)$ wird homogen genannt, wenn $Isom(M)$ transitiv auf $M$ wirkt

G-Homogener Raum

Sei $G$ eine Lie Gruppe und $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. $M$ ist ein $G$-Homogener Raum, wenn $G$ glatt und transitiv auf $M$ wirkt.

Eigenschaften

Äquivalenzen von Quotient und Isotropiegruppe

Folgendes ist äquivalent:

1. Die Lie Gruppe $G$ wirkt transitiv und glatt auf $M$ mit $H$ als Isotropiegruppe von $p\in M$
2. $M$ ist diffeomorph zur Quotientenmannigfaltigkeit $G/H$

Mit dieser Äquivalenz lässt sich der Quotient durch die Isotropiegruppe berechnen.

Beispiel

Lie Gruppe

Eine Lie Gruppe $G$ ist ein $G$-homogener Raum, da die Gruppe auf sich selbt transitiv wirkt.

Quotient einer Lie Gruppe

Sei $G$ eine Lie Gruppe und $H$ eine abgeschlossene Untergruppe. Dann besitzt der Quotient $G/H$ die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit sodass:

• $\pi :G\to G/H$ ist glatt
• $G\circlearrowright G/H$ ist glatt

Hierbei handelt es sich streng genommen, um eine Äquivalente Definition. (Siehe obere Äquivalenz.)

Rotationsgruppe auf Sphäre

$SO(n+1)$ wirkt transitiv und glatt auf $S^n$. Die Isotropiegruppe von $p\in S^n$ ist $SO(n)$. Nach oberer Äquivalenz gilt somit $S^n=SO(n+1)/SO(n)$

$GL(n,\mathbb{R})$ auf $\mathbb{R}\backslash \{0\}$

$GL(n,\mathbb{R})$ wirkt transitiv und glatt auf $\mathbb{R}\backslash \{0\}$. Die Isotropiegruppe sind die Matrizen der Form $A=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& A\end{array}\right)$

Stiefen Manigfaltigkeit

Siehe Stiefel-Mannigfaltigkeit.

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