Normaler Abschluss (Gruppe)

Beschreibung

Der Normale Abschluss einer Menge ist die kleinste Untergruppe, die Normalteiler ist und die Menge enthält.

Definition

Sei $M\subseteq G$ eine Menge einer Gruppe. Dann ist der normale Abschluss definiert als $\text{wink}{M}_G^{◃}:={\bigcup }_{g\in G}g\text{wink}M{g}^{-1}$

Beweis: Jeder Normalteiler, der $M$ enthält muss auch eine Untergruppe von $G$ also mindestens $\text{wink}M$ enthalten. Der kleinste Normalteiler $N⊴G$, der $M$ enthält, erfüllt die Gleichung $gN{g}^{-1}=N$ für alle $g\in G$. Ein $N\ge \text{wink}M$ erfüllt daher ${\bigcup }_{g\in G}g\text{wink}M{g}^{-1}\subseteq N$. ${\bigcup }_{g\in G}g\text{wink}M{g}^{-1}$ ist aber schon ein Normalteiler, muss also gleich $N$ sein

Eigenschaften

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