Beschreibung
Die Zusammenhängende Summe definiert eine Additionsoperation auf Manigfaltigkeiten, indem zwei Topologische Mannigfaltigkeit zusammengeklebt werden.
Definition
Seien zusammenhängende Mannigfaltigkeiten von Dimension . Seien Einbettungen des Balls.
Entferne die Bilder von aus der Vereinigung und identifiziere die Bilder der Ränder durch .
Die daraus resultierende Mannigfaltigkeit nennen wir die Verbundene Summe
Man kann zeigen, dass diese Definition bei zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten nur von der Orientierung von und abhängt.
Orientierung
Wir sagen, dass und als Einbettungen auf die gleiche Orientierung haben, wenn und in der gleichen Zusammenhangskomponente des Rahmenbündel liegen. In dem Fall ist es egal ob das Kleben am Bild von oder durchgeführt wird.
Summe orientierter Mannigfaltigkeiten
Addiert man zwei orientierte Mannigfaltigkeiten, so wollen wir, dass das Produkt die gleiche Orientierung wie die beiden Summanden hat. Zum Beispiel sollte die Innenseite der beiden Mannigfaltigkeiten weiterhin die Innenseite bleiben. Dazu fordern wir, dass genau eine Einbettung Orientierungserhaltend ist.
Eigenschaften
Unabhängigkeit der Orientation bei einem nicht-orintierbaren Summanden
Ist einer der beiden Summanden nicht-orientierbar, so hängt die Summe nicht mehr von der Orientierung ab.
Halbgruppe
Die Addition hat ein neutrales Element und folgt dem Assoziativgesetz. Somit ist sie eine Halbgruppe. Wir nennen diese Gruppe die Flächenhalbgruppe
Euler Charakteristik der Summe
Für die zusammenhängende Summe zweier Mannigfaltigkeiten gilt:
Beweis: Der Beweis ist ganz simpel. Bilde eine Triangulation der beiden Mannigfaltigkeiten und entferne jeweils ein Dreieck. Klebe die Mannigfaltigkeiten, dann an den entfernten Dreiecken zusammen. Die neue Mannigfaltigkeit besteht aus den beiden vorherigen Triangulationen minus Kanten, Ecken und Seiten.
Beispiel
Möbiusband
Durch das Zusammenkleben zweier Möbiusbänder erhält man zwei Zusammengeklebte Möbiusbänder.