Irreduzible Schleife

Beschreibung

Die irreduziblen Schleifen sind sozusagen die Basiselemente für den Raum der Mehrfache einfache essentielle Kurve.

Wenn ich es richtig verstehe ist die Irreduzible Schleife durch ${\pi }_1$-Zugstrecken definiert und damit von der Wahl eines (hyperbolischen) Fundamentalbereichs abhängig.

Parker und Series schreiben, dass diese Kurven die Grundlage für die Schnittfolge sind, da sie darauf hindeuten, welche Zeichen nützlich sein könnten.

Definition

Eine einfache Schleife $\gamma$ heißt irreduzibel, wenn dessen induzierte ganzzahlige Eigentlich gewichtete Pi1-Zugstrecke $\tau (\gamma )$ nicht als Summe zweier ganzzahligen eigentlichen Zugstrecken $w_1+w_2$, $w_1,w_2\in W(\tau )$ geschrieben werden kann.

Irreduzibilität ist eine sehr starke Eigenschaft. Sie ist stärker als [[Essentielle Kurveschlossene Kurve von Steigung $2$ auf dem Torus, so lässt sich dessen Pi1-Zugstrecke schreiben als Summe einer $1$-Steigung Kurve und einer $\infty$-Steigung Kurve.

Eigenschaften

Beispiele

Beispiel: Einfach durchbohrter Torus $T_1$

Dieser hat als Irreduzible Kurven ausschließlich, die Kurven mit Steigung $-1,0,1,\infty$.

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