Beschreibung
Die Zweite Variation der Energie ist eine Weiterentwicklung der Erste Variation der Energie. Diesmal betrachten wir aber die zweite Ableitung der Energie unter Anwendung einer 1-Parameter Variation.
Definition: Zweite Variation der Energie
Sei Riemannsche Mannigfaltigkeit und sei Kurve mit 2-parameter Variation . Definiere die Energie als Betrachte nun: wobei Variationsfelder entlang sind.
Im oberen Beispiel haben wir nach zwei verschiedenen Variablen abgeleitet. Betrachten wir aber einen Spezialfall, bei dem zwei mal nach der gleichen Variable abgeleitet wird, so vereinfacht sich die Formel in eine nützliche Form.
Definition Zweite Variation der Energie durch zweite Ableitung
Setzen wir die -Parameter Variation so, dass die Ableitung nach der ersten und zweiten Variable gleich ist, vereinfacht sich die zweite Variation der Energie. wobei das Variationsfeld der 1-Parameter Variation ist. Ist die betrachtete Variation eigentlich, so verschwindet zusätzlich der letzte Term. Es gilt außerdem die Formel
ist übrigens die Sectional curvature mal der Fläche des durch aufgespannten Parallelogramms. Die Existenz des Krümmungsunabhängigen Terms mag erst verwirren. Allerdings muss so etwas existieren, damit eine Geodätische in einer Mulde (lokales Minimum) liegen kann. Die Krümmung hat dann die zusätzliche Aufgabe, die Form der Mulde zu verändern. Betrachte eine Sphäre mit positiver Krümmung und zwei Punkte, die über die lange Geodätische verbunden sind. Hier ist die zweite Ableitung insgesamt negativ. Die Gerade in Richtung kurze Geodätische zu ziehen ist energetisch sinnvoll. Interessanterweise beobachten wir trotzdem, dass die Erste Variation der Energie für die lange Geodätische ist. Eine weitere interessante Beobachtung ist, dass dieser Effekt in negativ gekrümmte Räume gar nicht auftreten kann! Wenn ich alles richtig verstehe, wird von dieser Beobachtung beim Satz von Bonnet-Myers und Satz von Weinstein-Synge gebrauch gemacht.
Wir wollen nun mit der Indexform herumspielen. Das Erforschen dieser erfordert, dass wir die Variation der zweiten Energie mit dieser für stückweise glatte Variationsfelder verallgemeinern können.
Zweite Variation der Energie für stückweise glatte Variationsfelder
Es gelten die Bedingungen der oberen Definitionen
E''(0) &= \int_{0}^{l}g(V', V') - g(R(V, c')c', V)dt + \sum\limits g\left(V(t_{i}), \frac{\nabla}{dt} v\left(t_{i}^{-}\right)- \frac{\nabla}{dt}V(t_{i}^{+})\right) \\ &= I(V, V) + \sum\limits g\left(V(t_{i}), \frac{\nabla}{dt} v\left(t_{i}^{-}\right)- \frac{\nabla}{dt}V(t_{i}^{+})\right) \end{align} [^1]$$
Zweite Variation der Energie für glatte Variationsfelder
Es gelten die Bedingungen der oberen Definitionen \begin{align}E''(0) &= I(V, V) + g(c'(t), \frac{\nabla}{ds}V)|_{a}^{b} \end{align}
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