Hyperbolische Fläche

Beschreibung

Eine hyperbolische Fläche ist eine Fläche, die lokal wie ein Teil der Hyperbolische Halbebene aussieht. Es umfasst alle Flächen die Krümmung genau $-1$ haben.

Dieser Artikel ist ein Duplikat von Hyperbolische Mannigfaltigkeit.

Definition

Eine hyperbolische Fläche $\Sigma$ ist ein topologischer Raum mit einem hyperbolischem Atlas, bestehend aus hyperbolischen Karten $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ mit $U_{\alpha }\subseteq \Sigma$ offen und ${\varphi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\mathbb{H}}^2$ ein Homöomorphismus sodass

• Die Karten überdecken $\Sigma$
• Für jede Karte $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ ist ${\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })$ eine offene Teilmenge von ${\mathbb{H}}^2$
• Wenn $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ und $(U_{\beta },{\varphi }_{\beta })$ Karten sind, dann ist ${\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\subset U_{\beta })\to {\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ eine lokale hyperbolische Isometrie.

Eigenschaften

Eigenschaft

lit_issa2012construction