Symmetriegruppe eines Polygons

Beschreibung

Dieser Artikel beschreibt die Symmetriegruppe eines Polygons.

Eigenschaften

Maryzentrer als Fixpunkt

Die Symmetriegruppe lässt das Baryzenter $m$ als Fixpunkt.

Beweis Nehmen wir o.E. an, der Baryzenter liegt in $0$, dann muss eine Isometrie aus der Symmetriegruppe die Form $Ax$ haben. (Sonst würde man $0$ verschieben).

Alle Isometrien mit einem Fixpunktsind klassifziert und lassennur $3$ Möglichkeiten offen. Damit ergeben sich zwei Fälle:

• $Sym(P)$ enthält keine Spiegelung Da es endlich viele Ecken gibt, gibt es eine kleinste Drehung, die alle Ecken auf Ecken abbildet. Man kann zeigen, dass diese Rotation alle anderen Rotationen erzeugt $⟹$ Zyklische Gruppe
• $Sym(P)$ enthält eine Spiegelung
  • $Sym(P)$ hat keine Rotationen, dann besteht es nur aus einer Spiegelung denn sonst könnte man die Verketten und würde eine Rotation erhalten. Gruppe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
  • $Sym(P)$ hat Rotationen Alle Elemente mit Determinante $1$ sind genau die Rotationen. Für eine beliebige Spiegelung mit Determinante $-1$ reicht eine Spiegelung um die $x$-Achse um es in eine Rotation zu verwandeln. Damit braucht man bloß den Erzeuger der Rotationsgruppe und eine Spiegelung, um die Gruppe zu erzeugen. $⟹$ Diedergruppe

In ${\mathbb{R}}^2$ muss jede Isometrie (Euklidischer Raum)

Symmetriegruppe der Eckpunkte

Es gilt: $Sym(P)\subseteq Sym(E(P))$ wobei $E(P)$ die Ecken von $P$ sind.