Konjugierter Punkt

Beschreibung

Konjugierte Punkte sind besondere Punkte auf einer Geodätischen, die beschreiben, ab welchem Punkte Geodätische nicht mehr längenminimierend sind.

Definition

Sei $\gamma :[0,a]\to M$ eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit). Wir sagen, dass $q=\gamma (t)$ konjugiert zu $p$ entlang $\gamma$ ist, wenn es ein nicht-null Jacobi-Feld mit $J(0)=0=J(t)$ gibt.

Eigenschaften

Fehlen it).md)it).md)eiten negativer Krümmung.

Ist die Sectional curvature überall negativ, so gibt es keini-Feld.md)i-Feld.md)p]c: [0, l] \to M$eineGeod\ddot{a}tischeundsei$c(t)$einzu$c(0)$\ast \ast konjugierterPunkt\ast \ast .DanngibteseinepunktweiseglattesVektorfeld$V$,sodass$V(0) = 0 = V(l)$und$I(V, V) \leq 0$

Beismd)phäre $S^2$

In der Sphäre sind die Antipoden zueinander konjugierte Punkte.