Markov-Zerlegung

Beschreibung

Eine Markow-Zerlegung ist ein nützliches Hilfsmittel, mit dem wir dynamische Systeme auf symbolische Dynamik, d.h. auf einen Einseitiger Shift oder Zweiseitiger Shift zurückführen können.

Definition für nicht umkehrbare Zeit

Sei $(X,f)$ ein Dynamisches System. Eine Markow-Zerlegung ist eine Zerlegung $\mathcal{P}=\{P_0,...\}$ mit $X={\bigcup }_{i\in I}{P}_i$ (und disjunktem Inneren), sodass die Markow-Bedingung erfüllt ist: Jedes Bild eines m.md)eine Vereinigung von Elementen aus $\mathcal{P}$.

$f$ wird dann eine Markov-Abbildung (engl. Markov-Map genannt)

Besitzt man eine Markov-Zerlegung, kann man Punkte des Systems $X$ durch einen P-Namen kodieren.

Beispiele

Beispiel 1

Betrachte die Funktion $f:[0,1]\to [0,1]$, gegeben durch folgenden Graphen: Die Abbildung lässt eine Markow-Zerlegung $\mathcal{P}=\{P_0,P_1\}=\{[0,\frac{2}{3}],[\frac{2}{3},1]\}$ zu. Die Zerlegung erfüllt die Markov-Bedingung, denn $f(P_0)=P_0\cup P_1,f(P_1)=P_0$. Dies ergibt die Adjazenzmatrix: A= \begin{pmat[](Adjazenzmatrix.md)0 \end{pmatrix}

Beispiel 2

Betrachte die Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, definiert durch den Graphen Beobachte, dass Werte außerhalb des Intervalls $I=[0,1]$ nach Iteration nach unendlich gesendet werden. Außerdem werden die Werte im mittleren Drittel von $I$ aus dem Intervall geworfen. Betrachtet man das erste Drittel, bemerkt man, dass auch hier, das mittlere Drittel uns aus dem betrachteten Abschnitt wirft. Durch ein Induktives Argument ergibt sich, dass nur die Drittel-Cantor-Menge nicht nach endlich vielen Wiederholungen geworfen wird. Wir untersuchen nun die Cantormenge $\mathcal{C}$, indem wir sie schlau partitionieren. $\mathcal{P}=\{P_0,P_1\}=\{\left[0,\frac{1}{2}\right]\cap \mathcal{C},\left[\frac{1}{2},1\right]\cap \mathcal{C}\}$ Wegen der fraktalen Natur von $\mathcal{C}$ ist $f$ ein s]] von $P_0$ bzw. $P_1$ auf das Bild $\mathcal{C}$. Da $\mathcal{C}$ diskret ist, ist jeder P-Name eindeutig. Da $P_0,P_1$ disjunkt sind, hat jeder Punkt einen eindeutigen P-Namen. Damit ist $\pi :\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}\to \mathcal{C}$ ein Homöomorphismus.

Das Schlaue hier ist, dass wir so vielmd)ch von dem was uninteressant weggeworfen haben und nur einen winzigen Teil mit Markow-Zerlegungen modellieren.

Beispiel 3

Defimd)md)Abbildung $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ mit $f(z)=z^2+16$. Betrachte darin den Kreis $K$ mit Radius $10$. Offensichtlich sind alle Punkte außerhalb groß genug, dass sie durch die Dynamik nach außen geworfen werden. Die beide Punkte $4i$ und $-4i$ sind aber Fixpunkte, die in $K$ liegen. Das Urbild von $K$ unter $f$ sind also zwei Klumpen $D_0{,}_1$ um die beiden Punkte. Die beiden Scheiben sind disjunkt, da sie durch $\mathbb{R}$ separiert sind. Ähnlich besteht auch $f^{-1}(D_0)$ und $f^{-1}(D_0)$ aus zwei disjunkten Scheiben, eine davon liegt in $D_0$ und die andere in $D_1$ Dieses Vorgehen lässt sich bin ins Unendliche wiederholen. Die Menge der Punkte, die nicht rausgeschossen werden ist dann eine Menge, die homöomorph zu Cantormenge ist.

Interessant ist hier, wie wir eine sehr grobe Abschätzung gemacht haben und diese betrachteten.

Smales Hufeisenabbildung

Wir betrachten wie Smales Hufeisenabbildung auf einer Kapsel wie im unteren Bild wirkt. ![[Markov-Zerlegungg.md)$C_0$ in sich selbst abgebildet wird, gibt es darin mindestens einen Fixpunkt $p$. Iteriert man $f$, so wird das Bild der unteren Kappe immer kleiner. Alle Punkte der Kappen konvergieren nach Iteration gegen diesen Punkt. Des Weiteren werden die meisten Punkte durch wiederholte Iteration in die Kappen gedrückt. Wir untersuchen nun, welche Punkte aber in der Mitte bleiben. Nach ein wenig überlegen, vergleichen wir $R_0$ bzw. $R_1$ mit dem Beispiel 2 von eben. In beiden Fällen wird ein mittlerer Teil rausgeworfen, während ein äußerer Teil auf die vorherige Menge getrackt wird. Die Fixpunktmenge ist damit homöomorph zur Cantor-Menge gekreuzt mit einem horizontalen Liniensegment. Das ist allerdings ein Problem. Würden wir versuchen, die Punkte genauso wie in Beispiel 2 zu kodieren, dann würden alle horizontalen Segmente das gleiche P-Wort erhalten. Unterteilen wir das Quadrat wie in der Abbildung in vertikale Streifen, so ergibt sich eine sinnvolle Markow-Zerlegung, die fast alle Punkte bijektiv kodiert.