Riemannscher Krümmungstensor

Beschreibung

Den Riemannsche Krümmungstensor erhält man aus der Krümmung eines Zusammenhangs für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Definition

Der Riemannsche Krümmungstensor ist definiert durch: $R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)$

Charakterisierungen

Metrische Charakterisierung

Es ist möglich die Krümmung als die Rate zu verstehen, mit der sich Geodäten voneinander entfernen. Dabei gilt folgendes:

• Sphärische Geometrie: Geodäten bewegen sich langsamer als linear auseinander (und laufen irgendwann sogar zusammen)
• Euklidische Geometrie: Geodäten bewegen sich linear auseinander
• Hyperbolische Geometrie: Geodäten bewegen sich schneller als linear auseinander

Um dies zu zeigen, betrachte die folgende Familie von Geodätischen: $U{\mathbb{R}}^2:f:U\to M$, sodass $t\mapsto f(s,t)=f_s(t)$ Lokale Geodätische. Betrachte die Veränderung der Geodätischen $J(t)=\frac{\partial f}{\partial s}$. Dies ist ein Vektorfeld entlang Geodätischen.

Anwendung einiger Identitäten ergibt die Jacobi-Gleichung: ${\left(\frac{\nabla }{dt}\right)}^{2}J-R({\dot{f}}_o,J)\dot{f}=0$ Mit der Notation $\dot{J}={\nabla }_{\dot{c}}J=\frac{\nabla }{dt}J$ erhalten wir $\ddot{J}-R(\dot{c},J)\dot{c}=0$ Vektorfelder, die diese Gleichung erfüllen, bezeichnen wir als Jacobi-Feld

Eigenschaften

Symmetrien

• $R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$
• Symmetrien der Krümmung eines Zusammenhangs