Beschreibung
Eine irreduzible Matrix ist beim Lösen von linearen Gleichungssystemen von großer Bedeutung. Es gibt viele verschiedene Definitionen für eine irreduzible Matrix. Ich verwende die, die ich gerade brauche.
Definition
Eine Matrix mit nichtnegativen Einträgen ist genau dann irreduzibel, wenn es zu jedem Indexpaar eine Zahl gibt, sodass .
Charakterisierung
Sei eine Matrix. Wir nennen sie irreduzibel, wenn es keine Permutationsmatrix gibt, sodass die Matrix wie folgt geschrieben werden kann: Die Matrix oben hebt einen Teilgraphen hervor, aus dem man nicht mehr raus kann.
Charakterisierung
Eine Matrix mit den Einträgen ist irreduzibel, genau dann wenn der Graph der als Adjazenzmatrix interpretierte Matrix ein Stark zusammenhängender Graph ist.
Eigenschaften
Charakterisierung Periode
Für eine reelle, positive irreduzible Matrix ist die Periode (Matrix) der ggT der Längen von geschlossenen gerichteten Pfaden in