Schnitt entlang einer Kurve

Beschreibung

Es ist möglich einen Schnitt entlang einer Kurve zu definieren. Das ist nützlich, um einige Rechnungen zu vereinfachen.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit und $E$ ein Vektorbündel auf $M$. Sei $\gamma :[0,1]\to M$ eine Kurve. Wir bezeichnen unter einem Schnitt von $E$ entlang einer Kurve $\gamma$ die glatte Abbildung $\gamma :[0,1]\to E$ sodass $\pi \mu (t)=\gamma (t),\forall \in [0,1]$

Eigenschaften

Trivialität

Sei $E$ ein Vektorbündel über $M$ und sei $c:[a,b]\to M$ eine Kurve auf $M$. Dann ist das Bündel trivial über $c$. Es gibt Schnitte ${\mu }_1,...,{\mu }_n$, sodass ${\mu }_1(t),...,{\mu }_n(t)$ eine Basis von $E_{c(t)}$ für alle $t$ bildet.

Beispiel

Tangentenkurve

Ein besonders häufig verwendeter Schnitt entlang einer Kurve ist der Schnitt $\cdot c$, der jedem Punkt einer Kurve $c$ den Tangentenvektor zu der Kurve abbildet.