Betrands Paradox

Beschreibung

Betrands Paradox stellt eine einfache probabilistische Frage, die paradoxerweise drei verschiedene Antworten hervorbringt. Es demonstriert, dass man bei der Definition von zufällig sehr vorsichtig sein muss.

Definition

Zeichne einen Kreis und setze darin ein gleichseitiges Dreieck ein. Spanne einen Faden zufällig zwischen zwei Punkten des Kreises. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Faden länger als eine Seite des Dreiecks ist?

Antworten

Wahrscheinlichkeit ist $1/2$

Setze einen zufälligen Faden. Wir können ein Lot zum Mittelpunkt des Kreises fällen. Wir nehmen, dass die Länge des Lots gleichmäßig $]-1,1[$-verteilt ist. In dem Fall ist der Faden länger als eine Dreiecksseite, wenn das Lot Länge $]-1/2,1/2[$ hat. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $1/2$.

Der Erwartungswert ist übrigens $\pi /2$.

Wahrscheinlichkeit ist $1/3$

Angenommen, die beiden Endpunkte des Fadens sind gleichmäßig auf dem Kreisradius verteilt. O.E. liegt einer der Endpunkte auf $(1,0)$. Wir zeichnen das gleichseitige Dreieck ein, sodass eine Spitze auf $(1,0)$ liegt. Der andere Punkt ist gleichmäßig verteilt. Man sieht direkt, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit $1/3$ ist.

Der Erwartungswert ist übrigens $4/\pi$.

Wahrscheinlichkeit ist $1/4$

Betrachte alle Faden, deren Länge länger als eine Seitenlänge ist. Die Mitte des Fadens liegt dann genau im Innenkreis des Dreiecks. Angenommen, die Mitte des Fadens ist gleichmäßig im äußeren Kreis verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich dem Flächenanteil des kleinen Kreises, also $1/4$.

Der Erwartungswert ist übrigens $4/3$.

lit_hammingArtProbability2018