Einfach Punktierter Torus

Beschreibung

Eine Bohrung durch den Torus zu machen sieht nicht so aus, als ob es einen großen Unterschied machen würde. Tatsächlich wird dadurch aber eine hyperbolische Metrik auf dem Torus erst möglich.

Definition

Eigenschaften

Satz: Existenz einer Hyperbolische Metrik

Auf der hyperbolischen Ebene können wir ein ideales Quadrat zeichnen, das aus zwei Halbkreisen und zwei Senkrechten besteht. Dann identifizieren wir die gegenüberliegenden Seiten, wodurch wir einen Torus bekommen, dessen Punktierung wie ein unendlich langer Trichter aussieht. (z+2)$ und $z\to (z-1)/(-z+2)$*

Satz: Fundamentalgruppe

Die hyperbolische Ebene im oberen Bild ist die Universelle Überlagerung des Punktierten Torus. Man kann daran erkennen, dass die [[Fundamen*}$sichstarkvonderFundamentalgruppevon$T$unterscheidet.L\ddot{a}uftman\ddot{u}berdieKanten$AB \bar A \bar B$,sokommtmannichtbeimurspr\ddot{u}nglichenViereckheraussondernwoanders.Tats\ddot{a}chlichkannmananhandderbaumartigenStr[](Universelle$A, B$ ist.

Satz: Die meisten Bahnen sind quasiergodisch

Die meisten Lokale Geodätische auf dem Torus sind Quasiergodische Bahn, d.h. sie kommen jeder anderen Bahn auf dem Torus beliebig nahe.

Beweis: Bahnen des Torus können durch den Fundamental

Satz: Zu Schnittsequenzen des punktierten Torus

Verwenden wir das Quadrat als Fundamentalbereich mit den Kanten $A,B,\bar{A},\bar{B}$, so sind die Schnittsequenzen der Geodätischen beschreibbar durch reduzierte Sequenzen. (d.h. es folgt kein $\bar{A}$ auf $A$ und analog). Tatsächlich existiert für jeder reduzierte Sequenz bis auf $...AB\bar{A}\bar{B}...$ eine Geodätische mit dieser Sequenz zuordnen. Die Sequenzen lassen sich damit als Halbkreise interpretieren, die auf einer reellen der hyperbolischen Halbebene beginnen und auf einer reellen Zahl der hyperbolischen Halbebene enden. Die Ausnahme ist übrigens die geschlossene Kurve um die Bohrung.

Die Motivation der Schnittsequenzen sind nicht-geschlossene Geodätische, die über den Fundamentalbereich laufen und beim überqueren einer Kante eine Decktransformation durchführen. Die Schnittsequenz wird damit zu einer Folge von Decktransformationen, die durch Generatoren miteinander zusammenhängen.

Beim nächsten Satz verstehe ich den Bezug zum Torus noch nicht ganz.

Satz: Zu Schnittsequenzen von dreieckigen Parkettierungen

Oben wählten wir eine Quadratische Parkettierung. Dies muss aber nicht so sein. Lassen wir $SL(2,\mathbb{Z})$, generiert durch die Elemente $Q:z\mapsto -1/z$, $W:z\mapsto 2-1/z,\Omega :z\mapsto \frac{-1}{z-1}$, so erhalten wir eine dreieckige Parkettierung. $Q$ lässt sich als Spiegelung an einer Kante verstehen, $W$ als Translation. Da $Q$ sein eigenes Inverses ist, haben alle Geodätischen eine Schnittfolge der Form $...Q{W}^{n_1}Q{W}^{n_2}Q...$ ntierungserhaltend auf den Dreiecken. Somit werden die Bezeichnungen der Kanten nicht durch die Gruppe und in Folge die obere Schnittsequenz nicht erhalten. Die Gruppe erhält aber Richtungen, die Pfade innerhalb der Dreiecke nehmen. Wenn eine Geodätische in ein Dreieck einläuft und aus der linken Dreiecksseite wieder austritt, so wird das durch die Gruppe erhalten. Das erlaubt uns, die obere Schnittsequenz durch die Regeln $QW\mapsto L,\bar{W}\bar{W}\mapsto L,WQ\mapsto L$, sonst $R$. Wir erhalten eine Folge in $L,R$ der Form: $L^{n_0}{R}^{n_1},L^{n_2}...$. Aus dieser Form lässt sich nun die Steigung der Geodätischen ablesen: $\lambda =[n_0,n_1,n_2,...]$