Durchbohrte Kreisscheibe

Beschreibung

Wir verallgemeinern die Kreisscheibe indem wir eine bestimmte Menge an Punkten im Inneren weglassen.

Definition

Die $n$-Dimensionale Kreisscheibe mit $m$-Bohrungen wird mit $B_m^n$ bezeichnet.

Eigenschaften

Abbildungsklassengruppe mit punktweise fixem Rand isomorph zur Zopfgruppe

Die Abbildungsklassengruppe der $n$-fach durchbohrten Scheibe ist gleich der $n$-ten Braid group $B_n$. $\text{Mod}(D_n,\partial D)\cong B_n$

Abbildungsklassengruppe mit mengen nd isomorph zu Zopfquotient

Nehmen wir an, dass der Rand nur mengenweise fixiert sein darf, so vereinfacht sich die Gruppe, um eine Volldrehung aller Durchbohrungen, d.h. $\text{Mod}(D_n,\partial D)\cong B_n/\text{wink}{\Delta }_n^2$

Fundamentalgruppe der zweidimensionalen Kreisscheibe

Wir betrachten einen beliebigen Punkt $x_0$ der zweidimensionalen Kreisscheibe. Von dem Punkt ausgehend können wir eine Kurve um jede Bohrung wickeln. Wir erhalten als Ergebnis die Freie Gruppe: ${\pi }_1(D_n,x_0)\cong F_n$.

Wir bezeichnen die Erzeuger, d.h. das Herumwickeln um das $i$-te Loch als $e_i$.

Topologische Entropie von Homöomorphismen

Es ist möglich, für jeden Homöomorphismus auf $D_n$ Schranken für die Topologische Entropie anzugeben. Für die untere Schranke siehe Burau Abschätzung Für die obere Schranke gilt für pseudo-anosovsche $\varphi ={\sigma }_{{\mu }_1}^{{\epsilon }_1}...{\sigma }_{{\mu }_k}^{{\epsilon }_k}$: $h(\varphi )=GR(\varphi )\le spr\text{ges}A({\sigma }_{{\mu }_1}{)}^{\pm 1}...A({\sigma }_{{\mu }_k}{)}^{\pm 1}$

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