Torus

Beschreibung

Definition

Algebraische Definition

Man kann den Torus als eine Gleichung definieren: $T^n=\text{ges}{z}_1,...,z_n\in {\mathbb{C}}^n:|z_1|=...=|z_n|=1$

Eigenschaften

Verbindung

Glatte Verbindung auf dem Torus

Man kann einen 2-Torus $M=S^1\times S^1$ durch die Identifikation von Punkten von ${\mathbb{R}}^2$ erhalten. ($\pi :{\mathbb{R}}^2\to M$) Angenommen $W$ ist ein Vektorfeld auf $M$. Dann kann man durch Hebung ein Vektorfeld $\tilde{W}$ auf ${\mathbb{R}}^2$ erhalten, sodass $d_p\pi (\tilde{W}(p))=W(\pi (p))$

Angenommen $V,W$ sind Vektorfelder auf $M$ und $\tilde{V},\tilde{W}$ sind deren Hebungen. Wir definieren die Verbindung als: $({\nabla }_{V}W{)}_p=d{\pi }_q(D_q\tilde{W}(\tilde{V}(q)))$

Runde Verbindung auf dem Torus

Wir können noch eine Verbindung ${\nabla }^{\prime }$ erzeugen, indem wir den Torus durch $(s,t)\mapsto (exp(i\pi s),exp(i\pi t))$ in ${\mathbb{R}}^4$ einbetten und die Christoffelsymbole aus der Orthogonalen Projektion errechnen.

Wir können zwischen den beiden Verbindungen wechseln, indem wir die Formel benutzen: $f_{\ast }({\nabla }_{X}Y)={\nabla }_{f_{\ast }X}^{\prime }{f}_{\ast }Y$ wobei $f_{\ast }(X)=df\circ X\circ f^{-1}$

Geodäten

Charakterisiert man Geodäten durch Verbindungen, so kann man zeigen, dass die Geodäten die Bilder von Geraden auf ${\mathbb{R}}^2$ unter der Projektionsabbildung nach ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ sind.

Beispiele

2-Torus

Siehe 2-Torus