Exponential (Einparametrige Gruppe)

Beschreibung

Die Einparametrige Gruppe erlaubt es, die Exponentialfunktion auf Lie Gruppe zu verallgemeinern.

Ist die Lie-Gruppe eine Matrixgruppe, so ist das Exponential einfach das Matrixexponential.

Definition

Lie-Gruppe

Sei $X$ ein Vektorfeld auf einer Lie-Gruppe $G$ mit einer globalen Einparametrige Gruppe ${\theta }_t(g)$. Wir definieren die Exponentialfunktion als: $\exp :\underline{G}\to G,X\mapsto {\theta }_1(e)$

Durch Skalierung erhalten wir $\exp (tX)={\theta }_t(e)$. Das ist offensichtlich eine in $t$ glatte Funktion mit $\frac{d}{dt}(\exp (tX)){|}_{t=0}=X$

$\exp$ ist also die Integralkurve des Vektorfeldes $X$, beginnend im Punkt $e$

Eigenschaften

Gruppenhomomorphismus

Das Exponential ist ein Gruppenhomomorphismus.

Verhalten um $0$

Das Exponential ist eine Abbildung von (meist Matrixwertigen) Vektorraum $\underline{G}$ in die Lie-Gruppe $G$. Dabei gilt $\exp (0)=e$.

Namensursprung

Die Trajektorie eines Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra) ist bei Lie-Gruppen gegeben durch die Differentialgleichung: $\frac{dx}{dt}=xA$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist offensichtlich die Reihe ${\sum }_{p=0}^{\infty }\frac{t^p}{p!}{A}^p$. Konvergiert diese Reihen für alle $A$, so ist die Reihe einfach die Taylorentwicklung der orthogonaleExponentialfunktion.

lit_gallotRiemannianGeometry2004