Beschreibung
Dieser Artikel fasst wichtige Eigenschaften von kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten zusammen.
Eigenschaften
Existenz einer geschlossenen Geodätischen
Sei eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Gilt für die Fundamentalgruppe , dann existiert eine geschlossene Lokale Geodätische.
Beweis: Sei der Repräsentant einer Nichttrivialen Homotopieklasse. Sei eine Folge von homotopen Kurven, deren Länge zur minimal möglichen Länge konvergiert. Wir nehmen o.E. dass die Kurven glatt und -lipschitzstetig sind. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli existiert damit eine Teilfolge , die gegen eine Lipschitzstetige Kurve mit der entsprechenden Länge konvergiert.
Zuletzt müssen wir noch zeigen, dass auch homotop ist. Der Beweis dafür steht im Skript.
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\H}{\mathbb H}