Direkte Summe von Vektorraumbündel

Beschreibung

Wir haben zwei Vektorraumbündel auf einer Mannigfaltigkeit. Wir wollen eine Bündelsumme definieren, bei der wir einen neuen Vektorraumbündel auf $M$ bekommen, bei dem sich die Fasern wie direkte Summen der Faser der beiden Bündel verhalten.

Definition

Für zwei Vektorbündel ${\pi }_E:E\to M,{\pi }_F:F\to M$ bauen wir ein direktes Produkt $\pi :E\oplus F\to M$.

Wir definieren $E\oplus F={⨆}_{p\in M}{E}_p\oplus F_p$ als Menge. Die Projektion $\pi :E\oplus F\to M$ ist definiert durch ${\pi }^{-1}(p)=E_p\oplus F_p$.

Trivialisationen

Die Trivialisationen erzeugen wir aus den Trivialisationen vn $E$ und $F$. Sei $U\subseteq M$ eine offene Menge und seien $f_E:U\times {\mathbb{R}}^{n_E}\to {\pi }_E^{-1}(U),f_F:U\times {\mathbb{R}}^{n_F}\to {\pi }_F^{-1}(U)$ Trivialisationen von $E,F$. Wir definieren eine Trivialisation von $E\oplus F$ durch \begin{align*}f_U: U \times \mathbb{R}^{n_E} \oplus \mathbb{R}^{n_F} &\to \pi^{-1}(U) \\ f_U(u, v \oplus w) &= f_E(u, v) \oplus f_F(u, w) \end{align*}

$\oplus$ ist einfach gleich dem Produkt für Vektorräume. Wir benutzen hier die Notation der Summe, aus kategorietheoretischen Gründen.

Trivialisationsübergang

Seien $f_E,f_F,g_E,g_F$ Trivialisationen von $E,F$. Diese induzieren Übergänge $g_E^{-1}\circ f_E(u,v)=u,{\tau }_E(u)(v)$ für ein lineares $\tau (u)$.

Wir erzeugen nun nach oberen Schema die Trivialisationen $f_U,g_V$. Es ergeben sich die Übergangsfunktionen $g_V^{-1}\circ f_U(u,v\oplus w)=(u,{\tau }_E(u)(v)\oplus {\tau }_F(u)(v))$

Die linearen Funktionen, die beide Faktoren des Vektorraumproduktes in ein anderes Koordinatensystem umwendeln sind also unabhängig voneinander.

Q: Trivialisationsübergänge auf $E\oplus F$ A: $g_V^{-1}\circ f_U(u,v\oplus w)=(u,{\tau }_E(u)(v)\oplus {\tau }_F(u)(v))$ Für lineare ${\tau }_E,{\tau }_F$

Karten

Wir beobachten, dass Karten und Trivialisationen nicht das gleiche sind. Ein Trivialisation bildet $E$ auf $M\times {\mathbb{R}}^n$, nicht $R^m\times {\mathbb{R}}^n$ ab. Zum Bilden einer Karte müssen wir also $M$ nochmal euklidisch verwandeln.

Für jede Karte auf $M:$ $\phi :U\to V$ und jede Trivialisation $f_U:U\times {\mathbb{R}}^{n_E}\oplus {\mathbb{R}}^{n_F}\to {\pi }^{-1}(U)$ erzeugen wir eine Karte \begin{align}\Phi_{\varphi, f_U}: \pi^{-1}(U) &\to V \times \mathbb{R}^{n_1} \oplus \mathbb{R}^{n_2} \\ (p, v) &\mapsto (\varphi \circ \pi_1 \circ f_U^{-1}(p, v), \pi_2 \circ f_U^{-1}(p, v)) \end{align}

Eigenschaften

Ist Ein Glatter Vetorraumbündel

Das Ergebnis des Produktes ist ein Vektorbündel.