CAT(k) Raum

Beschreibung

$CAT(\kappa )$ ist eine Verallgemeinerung der Krümmung auf einen Metrischer Raum. Das $\kappa$ beschreibt, wie stark nach außen gewölbt kleine Dreiecke maximal sind.

Definition

Für eine reelle Zahl $k\in \mathbb{R}$, bezeichne mit $M_k^2$ den $k$-Modellraum.. Sei $(X,d)$ ein geodätischer Metrischer Raum. Wir nennen ihn $CAT(k)$, wenn für jedes Geodätisches Dreieck $△$ mit Durchmesser $<\frac{\pi }{\sqrt{k}}$ und ${△}^{\prime }$ das zugehörige Vergleichsdreieck: $d(x,y)\ge d(\bar{x},\bar{y})$

D.h. wenn der dritte Dreiecksvergleich mit dem Modellraum $M_{\kappa }^n$ erfüllt ist.

Eigenschaften

Eigenschaft