Gefaserter Knoten

Beschreibung

Ein gefaserter Knoten ist eine spezielle Art von Knoten. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine Faserung von Seifert-Flächen erlaubt. Hierdurch entsteht eine innige Beziehung zu Topologie.

Definition

Sei $K$ ein Knoten in $S^3$. Wir nennen ihn einen gefaserten Knoten, wenn es eine Faserung von $S^3$ mit Seifert-Flächen gibt. Das heißt: Es gibt eine $1$-Parameter Familie $F_t$ mit $t\in S^1$ von Seifert-Flächen, sodass für $t\ne s$ gilt $F_s\cap F_t=K$.

Diese Definition ist besonders leicht am trivialen Knoten zu visualisieren. Dessen Minimalfläche ist einfach eine Kreisscheibe. Wir können nun die Kreisscheibe in eine Art Halbkugel aufblasen. Wenn die Halbkugel groß genug ist, stülpt sie sich einmal um $S^3$ und wird zu der anderen Hemisphäre mit $K$ als Äquavator. $S^3$ erlaubt also eine Faserung von Kreisscheiben.

Eigenschaften

Fundamentalgruppe

Angenommen $K$ ist ein nicht-trivialer gefaserter Knoten und die Knotengruppe ${\pi }_1(S^3\backslash K)$ ist bi-geordnet. Dann hat das Alexander-Polynom ${\Delta }_K(x)$ eine positive Nullstelle.

lit_kinBraidsOrderingsMinimal2018 lit_clayOrderedGroupsEigenvalues2010