Geometrische Verteilung

Beschreibung

Die Geometrische Verteilung ist eine abzählbare Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. eine Verteilung auf einem abzählbaren Wahrscheinlichkeitsraum. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass beim $k$-ten Werfen einer Münze das erste Mal Kopf auftritt.

Die Verteilung sieht aus wie eine Geometrische Reihe und erhält daher auch ihren Namen.

Definition

Eine Zufallsvariable $T$ heißt geometrisch verteilt, wenn für alle $s\in \mathbb{N}:$ $P(T=s)=(1-p{)}^{s-1}p$ Wir schreiben $T\sim \mathcal{G}(p)$.

Eigenschaften

Fast sichere Stoppzeit

Eine geometrisch verteilte Zufallsvariable nicht fast-sicher einen endlichen Wert an, denn $P(T=\infty )=0$

Kennzahlen

Erwartungswert: $E(X)=\frac{1}{p}$ = \frac{1}{p^{2}}- \frac{1}{p}$ --- veranstaltung: “2023SoSe Deckert Stochastik” typ: Mathematikartikel

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Beschreibung

Die Geometrische Verteilung ist eine abzählbare Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. eine Verteilung auf einem abzählbaren Wahrscheinlichkeitsraum. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass beim $k$-ten Werfen einer Münze das erste Mal Kopf auftritt.

Die Verteilung sieht aus wie eine Geometrische Reihe und erhält daher auch ihren Namen.

Definition

Eine Zufallsvariable $T$ heißt geometrisch verteilt, wenn für alle $s\in \mathbb{N}:$ $P(T=s)=(1-p{)}^{s-1}p$ Wir schreiben $T\sim \mathcal{G}(p)$.

Eigenschaften

Fast sichere Stoppzeit

Eine geometrisch verteilte Zufallsvariable nicht fast-sicher einen endlichen Wert an, denn $P(T=\infty )=0$

Kennzahlen

Erwartungswert: $E(X)=\frac{1}{p}$ Varianz: $V(X)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}$