Eigenwert (Gruppenautomorphismus)

Beschreibung

Wir verallgemeinern Eigenwerte auf Gruppenautomorphismen endlich erzeugter Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine endlich erzeugte Gruppe und $\varphi :G\to G$ ein Automorphismus. Betrachte die Abelianisation $G_{ab}$. Wir bilden das Tensorprodukt mit $\mathbb{Q}$. $\varphi$ induziert nun ${\varphi }_{\ast }:G_{ab}\to G_{ab}$. Das induziert eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen über $\mathbb{Q}$: ${\varphi }_{\ast }\otimes id:G_{ab}\otimes \mathbb{Q}\to G_{ab}\otimes \mathbb{Q}$ Die Eigenvektoren von $\varphi$ sind definiert als die Eigenvektoren von ${\varphi }_{\ast }\otimes id$, nämlich als die Nullstellen des Charakteristisches Polynom (Lineare Algebra) ${\chi }_{{\varphi }_{\ast }\otimes id}(\lambda )=\det (M-\lambda I)$

Will man nicht beliebige Gruppen sondern nur Automorphismen freier Gruppen betrachten, vereinfacht sich obere Definition erheblich.

Definition für Freie Gruppen

Sei $\varphi :F_n\to F_n$ ein Automorphismus. Bezeichne mit ${\varphi }_{ab}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ die induzierte Abbildung auf der Abelianisation. Die Eigenwerte sind einfach dessen Eigenwerte.

lit_clayOrderedGroupsEigenvalues2010 g