Pushforward einer Geodätischen

Beschreibung

Nimmt man das Bild einer Geodätischen unter einem Homöomorphismus, so ist dies üblicherweise nicht geodätisch. Es ist allerdings möglich, die Kurve auf eindeutige Weise zu einer Geodätischen zu richten. Diese Methode wird hier beschrieben.

Definition

Sei $\varphi :S\to S$ ein Homöomorphismus und $\gamma$ eine (möglicherweise nicht kompakte) Lokale Geodätische auf einer vollständigen hyperbolischen Fläche endliches Volumens.

Nach Nielsens Fortsetzungssatz gibt es eine induzierte Abbildung auf der hyperbolischen Ebene mit Rand ${\overline{\mathbb{H}}}^2:={\mathbb{H}}^2\cup S_{\infty }^1$: $\overline{\varphi }:{\overline{\mathbb{H}}}^2\to {\overline{\mathbb{H}}}^2$

$\gamma$ hebt sich zu einer Geodätischen $\overline{\gamma }$ mit Endpunkten $a,b$ auf dem Rand $S_{\infty }^1$. Es gibt eine eindeutige Geodätische ${\overline{\varphi }}_{\ast }(\gamma )$ mit Endpunkten $\overline{\varphi }(a),\overline{\varphi }(b)$. Der Pushforward ${\varphi }_{\ast }(\gamma )$ bildet $\gamma$ auf die Kurve $p({\overline{\varphi }}_{\ast }(\gamma ))$ ab.

*Auf die gleiche *

Eigenschaften

Eigenschaft