Stetigkeit (Topologie)

Beschreibung

Eine Funktion in der Topologie ist stetig, wenn die Funktion vertauschbar mit Limites ist.

Definition durch Konvergenz

Seien $M\subseteq (X,\mathcal{T}),N\subseteq (X,\mathcal{S})$ Mengen von Topologischen Räumen Eine Funktion $f:M\to N$ ist stetig, wenn für eine konvergente Folge $(a_i)$ mit $a_i\to a$ gilt $f(a_i)\to f(a)$

Definition durch Offene Mengen

Seien $M\subseteq (X,\mathcal{T}),N\subseteq (X,\mathcal{S})$ Mengen von Topologischen Räumen Eine Funktion $f:M\to N$ ist stetig, wenn für jede in $N$ offene Menge $U\subseteq N$ das Urbild $f^{-1}(U)$ offen in $M$ ist.

Eigenschaften

Erhält Kompaktheit

Sei $M$ eine kompakte Menge und $f$ stetig. Dann ist $f(M)$ kompakt.

Stetigkeit von Produktabbildungen

Eine Abbildung $f:Z\times X\times Y$ ist stetig, wenn die beiden Komponenten $f_1$, $f_2$ stetig sind.

Beispiele

Nicht-stetige Abbildung

Die Abbildung $h_t(x):=x^3+tx$ ist nicht stetig in $t\mapsto h_t$. (Vielleicht ist hier stetig im Sinne der Whitney-Topologie gemeint.)