Graduierter Vektorraum

Beschreibung

Ein graduierter Vektorraum ist ein Vektorraum, dem eine Hierarchie gegeben wurde. Es verallgemeinert die Struktur des Polynomring.

Es ist möglich, den Vektorraum auf abelsche Objekte zu verallgemeinern. In dem Fall spricht man von einer Graduierung.

Definition

Sei $K$ ein Körper. Eine $\Gamma$-Graduierung auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist ein System $(V_{\gamma }{)}_{\gamma \in \Gamma }$ von Untervektorräumen, sodass $V$ die direkte Summe der $V_{\gamma }$ ist. $V={⨁}_{\gamma \in \Gamma }{V}_{\gamma }$ Die Vektorräume $V_{\gamma }$ heißen die graduierten Bestandteile von $V$.

Elemente $v\in V\in V_{\gamma }-\{0\}$ heißen homogen von Grad $\gamma$ und man schreibt dafür kurz $\text{deg}v=\gamma$ oder $\partial v=\gamma$.

Jedes Element kann auf genau eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden.

Erlaubt $\Gamma$ Nachfolger, so ist die Gradshiftoperation wohldefiniert.

Gradshift

Sei $\cdot \{l\}$ die Gradshift-Operation, die den Grad homogener Elemente um $l$ erhöht. Ist $W={⨁}_m{W}_m$ ein graduierter Vektorraum, so setzen wir $W\{l{\}}_m:=W_{m-l}$, sodass $q\dim W\{l\}=q^{l}q\dim W$

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiel

Polynomring

Der Polynomring bildet einen Graduierten Vektorraum Die graduierten Bestandteile werden von den Monomen erzeugt.

Tensoralgebra

Die Tensoralgebra bildet einen Graduierten Vektorraum. Die graduierten Bestandteile sind dabei die Tensorräume eines bestimmten Typs $T_s^r$

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