Loch einer zusammenhängenden Menge

Beschreibung

Sei $U$ eine Zusammenhängende Menge. Ein Loch ist eine Menge, die nicht in $U$ enthalten ist, aber von ihr umgeben wird.

Den Begriff habe ich mir selbst ausgedacht, damit nullhomolog leichter zu lesen ist. Die Definitionen müssen nciht unbedingt richtig sein

Definition

Sei $U\subseteq {\mathbb{K}}^d$.

Eine Menge des Komplements von $U$ $L\subseteq \overline{U}={\mathbb{K}}^d\backslash U$ ist ein Loch, wenn $L$:

1. Zusammenhängend Damit zwei disjunkte Löcher nicht auch als ein Loch klassifiziert werden
2. $L$ und $\overline{U}\backslash L$ zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen sind. Damit wird garantiert, dass ein halbes Loch nicht auch als Loch klassifiziert wird
3. kompakte Menge Da sonst der unbeschränkte Raum um $U$ auch ein Loch wäre ist

Eigenschaften

Besitzt eine Zusammenhängende Menge ein Loch, kann sie keine Einfach Zusammenhängende Menge sein, da man um das Loch eine nicht nulltope Schleife definieren kann.