Gruppenautomorphismus

Definition

Ein Gruppenautomorphismus ist ein Automorphismus die eine Gruppe $G$ auf sich selbs abbildet.

Charakterisierungen

Verkabelung

Ein Gruppenautomorphismus bildet jedes Gruppenelement bijektiv auf ein anderes ab. Insbesondere bildet es Erzeuger auf andere Elemente ab.

Da man mit einem Erzeugendensystem durch Kombination alle Elemente der Gruppe $G$ erzeugen kann (und das Bild von $G$ wieder $G$ ist), müssen auch Bilder der Erzeuger ganz G erzeugen können.

Die Bilder eines Erzeugendensystems von $G$ sind wieder ein Erzeugendensystem von $G$.

Das Erzeugendensystem kann durch Pfeile im Cayley-Graph verbildlicht werden. Der Automorphismus bildet diese Pfeile auf andere Stellen ab, ohne dass die aus dem Diagramm erzeugte Gruppe dabei verändert wird. Jeder Gruppenautomorphismus ist somit eine Neuverkabelung der Gruppe.

Eigenschaften

Erzeugendensystem

Die Bilder eines Erzeugendensystems von $G$ sind wieder ein Erzeugendensystem von $G$

Beispiele

Tau-Automorphismus

Sei $G$ eine Gruppe, $N$ ein Normalteiler und $U$ eine Untergruppe von $G$. Dann ist jedem $u\in U$ durch ${\tau }_u(n)=un{u}^{-1}$ ein Automorphismus von $N$ zugeordnet. Diese Automorphismen bilden bezüglich der Verknüpfung eine Gruppe.¹

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 7.1 ↩