Trageabbildung

Beschreibung

Gelegentlich beobachten wir, dass sich eine Zugstrecke schön auf eine andere Zugstrecke falten lässt. In solchen Fällen sagen wir, dass die erste Zugstrecke von der zweiten getragen wird. Das Tragen von Zugstrecken erinnert uns ein wenig an die Markov-Zerlegung. Wir definieren dort ebenfalls Teilmengen und beschreiben, wie diese untereinander abbilden. Dynamisch formalisiert wird dies mit der Inzidenzmatrix (Zugstrecke).

Definition

Sei $f:S\to S$ ein Homöomorphismus einer Fläche $S$ und seien $\tau ,{\tau }^{\prime }\subseteq S$ Zugstrecken. Wir sagen $\tau$ trägt ${\tau }^{\prime }$ wenn es eine sogenannte Trageabbildung $\phi :S\to S$ gibt, die $C^1$, homotop zur Identität ist und folgendes erfüllt:

• $\phi ({\tau }^{\prime })\subseteq \tau$
• Ist $s$ ein Knoten von ${\tau }^{\prime }$, dann ist $\phi (s)$ ein Knoten von $\tau$
• Ist $v\ne 0$ ein Tangentenvektor von ${\tau }^{\prime }$, dann ist $d\phi (v)$ nicht null

In Braids definiert Thiffeault eine sogenannte Zugstreckenabbildung, die ein symbolisches Gegenstück zu sein scheint. Hier werden alle Zweige mit beschriftet. (bei ihm mit Zahlen für peripherale Zweige und Buchstaben für den Rest). Die Zugstreckenabbildung beschreibt symbolisch, worauf ein Zugpfad durch die Trageabbildung $\phi$ abgebildet wird. Beobachte, dass Kombinationen $a\bar{a}$ nie auftauchen, da diese damit korrespondieren, dass man sich auf einem Gleis rückwärts bewegt. Die Zugstreckenabbildung lässt sich daher interpretieren als ein Automorphismus der freien Gruppe.

Eigenschaften

Eigenschaft

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