Riemannsche Mannigfaltigkeit

Beschreibung

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit und $g$ eine Riemannsche Metrik. Das Paar $(M,g)$ wird Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt.

Eigenschaften

Immer Definiert

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Da man mit einer Zerlegung der Eins immer eine Riemannsche Metrik konstruieren kann, kann jede Mannigfaltigkeit in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit umgewandelt werden

Eindeutigkeit eines Zusammenhangs

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann gibt es einen natürlichen eindeutigen Linearer Zusammenhang $\nabla$ auf $TM$. Diese Zusammenhang wird als Levi-Cevita-Zusammenhang bezeichnet.