Poincaré-Lemma

Beschreibung

Das Poincaré Lemma besagt, dass der Ball keine Löcher hat und die Sphäre Löcher der Dimensionen $1\le k\le n$ hat.

Definition

Poincaré für Bälle

Jede Geschlossene Differentialform von Grad $k\le 1$ ist eine Exakte Differentialform.

Folgerungen

Jede glatte Abbildung auf $D^n$ hat einen Fixpunkt

Angenommen, $F:D^n\to D^n$ hätte keinen keinen Fixpunkt. Dann gibt es eine eindeutige Gerade von $x$ zu $F(x)$. Indem wir der Gerade folgen schneiden wir irgendwann $S^n$, was uns eine glatte Abbildung von $D^n$ auf $S^n$ gibt. Das kann aber wegen der Kohomologie der beiden nicht möglich sein.