Nicht-parabolische Modulare Gruppe

Beschreibung

Die nicht-parabolische Modulare Gruppe ist eine Untergruppe der Modulare Gruppe. Ich habe mir ihren Namen ausgedacht, weil ich einen Ort für Beweise gebraucht habe, die hyperbolische Elemente der Modulare Gruppe betreffen. Konkret ist es die Untergruppe, generiert durch alle nicht-parabolische Elemente der Modularen Gruppe.

Diese Gruppe ist ein wenig kleiner als die Modulare Gruppe und hat eine nette Darstellung von Elementen als $L,R$-Wörter.

Eigenschaften

Normalform hyperbolischer Elemente

Sei $A$ eine hyperbolische Matrix $A\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ (d.h. $tr(A)>2$). Dann gibt es ein $B\in S{L}_2(\mathbb{Z})$, $n\in {\mathbb{N}}_{>0}$ und nicht-negative ganze Zahlen, sodass $BA{B}^{-1}=L^{a_1}{R}^{b_1}{L}^{a_2}{R}^{b_2}...L^{a_n}{R}^{a_n}$ wobei $L=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

Beweis: Es ist bekannt, dass jede Matrix aus $SL(2,\mathbb{Z})$ den Farey-Graph erhält. Wir beobachten, dass der Farey-Graph aus Dreiecken besteht, die Baumartig verbunden sind. Sie bilden den Farey-Baum. Im Folgenden fokussieren wir uns hauptsächlich auf die rechte Hälfte des Baumes in der Poincare-Scheibe.

• Die Matrix $L$ sendet als Möbiusstransformation das Dreieck $0,1,\infty$ auf $1,2,\infty$.
• Die Matrix $R$ sendet als Möbiusstransformation das Dreieck $0,1,\infty$ auf $1,\frac{1}{2},0$.

Die Matrix verschiebt also das Standarddreieck im Baum nach links oder rechts. Die Abbildung ist orientierungserhaltend, weshalb sie nicht zwei Zweige im Baum vertauschen kann. Alle Abbildungen, die also das Standarddreieck auf ein Dreieck in der rechten Seite der Poincare-Scheibe verschiebt, ist bis auf einer Rotation des Bilddreiecks durch $L$ und $R$ beschreibbar. Durch Konjugation mit einer Spiegelung um eine Kante kann man obere Eigenschaft immer sicherstellen. Damit ist jede Matrix der oberen Form konjugiert zu der Normalform. Die Konjugation geschieht erst durch eine Spiegelung, dann durch eine Rotation um das Bilddreieck.

Ich denke, dieser Beweis hat große Lücken. Ich sollte den bei Zeiten ausbessern lassen.