Orbifaltigkeit

Beschreibung

Eine Orbifaltigkeit verallgemeinert die Topologische Mannigfaltigkeit, indem sie Singularitäten erlaubt, deren Umgebung nicht euklidisch aussehen muss.

Definition

Eine $n$-dimensionale Orbifaltigkeit ist ein Hausdorffscher Topologischer Raum $X$, den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen $U_i$, die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes $U_i$ gibt es:

• Eine offene Teilmenge $V_i\subseteq R^n$, welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation ${\Gamma }_i$ ist. man stelle sich eine Spiegelung oder Rotation vor
• Eine stetige Abbildung ${\varphi }_i$ von $V_i$ nach $U_i$, die invariant unter ${\Gamma }_i$, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Die Menge der Karten $\{({\varphi }_i:V_i\to U_i,{\Gamma }_i)\}$, nennt man einen Atlas, wenn die Karten untereinander verträglich sind:

• Für jede Inklusion $U_i\in U_j$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus: $f_{ij}:{\Gamma }_i\to {\Gamma }_j$ und einen $f_{ij}$-äquivarianten Homöomorphismus (auch Verklebeabbildung) ${\psi }_{ij}:V_i\to V_j$, der mit den Karten kompatibel ist: ${\varphi }_j{\psi }_{ij}={\varphi }_i$. Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d.h. zu zwei Verklebeabbildungen ${\psi }_{ij},{\psi }_{ij}^{\prime }$ soll es ein $g\in {\Gamma }_j$ mit ${\psi }_{ij}^{\prime }=g{\psi }_{ij}$ geben.

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Einfachste Orbifaltigkeit

Die einfachste Orbifaltigkeit ist durch die Wirkung von $x\mapsto -x$ auf $\mathbb{R}$ gegeben. Sie sieht für $x/0$ euklidisch aus. In $0$ gibt es eine Singularität.