Faltung

Beschreibung

Eine Faltung ist eine spezielle Produktoperation, die auf zwei Folgen definiert wird.

Definition (Abzählbare Zufallsexperimente)

Seien $(a_i{)}_{i\in \mathbb{N}},(b_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ zwei Folgen. Wir definieren die Faltung: Schreibe die beiden Folgen folgendermaßen als Potenzreihe: $G(t)={\sum }_i{a}_i{t}^i,H(t)={\sum }_i{b}_i{t}^i$ Bilde das Cauchyprodukt der beiden Reihen. Dadurch erhalten wir eine neue Potenz mit den Koeffizienten $c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j={\sum }_{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$ Diese Operation nennen wir eine Faltung.

Definition (Überabzählbare Zufallsexperimente)

Seien $X_1,X_2$ unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten ${\rho }_1,{\rho }_2$. Dann ist die Faltung eine Dichte definiert als: $({\rho }_1\ast {\rho }_2)(z):=\int {\rho }_1(x){\rho }_2(z-x)dx=\int {\rho }_1(z-x){\rho }_2(x)dx$ Dies ist die Dichte der Zufallsvariable $X_1+X_2$

Eigenschaften

Kommutativität

Die Faltung ist kommutativ.

lit_hammingArtProbability2018