Whitehead Verschlingung

Beschreibung

Der Seifert-Algorithmus berechnet für ein gegebene Knotenprojektion eine passende Seifert-Fläche

Definition

Sei eine Reguläre Projektion (Knoten) eines Knoten $K$ gegeben.

1. Wähle eine Orientierung für den Knoten
2. Ersetze jede Kreuzung durch zwei nicht überkreuzende Bögen, sodass die Orientierung erhalten bleibt. Es entsteht dabei eine Menge von Kreisen. Wir stellen uns vor, dass die Kreise auf unterschiedlichen Höhen sitzen. Die Kreise werden als Seifert-Kreise bezeichnet
3. Setze in jeden Kreis eine Kreisscheibe ein. Ich nenne die Seifert-Scheiben.
4. Verbinde die Kreisscheiben entsprechend der ursprünglichen Kreuzungen mit verdrehten Streifen

Das Resultat ist eine orientierte Fläche mit einer Randkomponente.

Beweis: Das es nur eine Randkomponente nach der Konstruktion gibt, ist offensichtlich, da die Kreuzungen am Ende wieder eingefügt wurden. Die Orientierbarkeit lässt sich folgendermaßen zeigen: Die Orientierung jeder Seifert-Scheibe ist davon abhängig, ob der Knoten positiv oder negativ um die Scheibe geht. Die Orientierung des Knotens wechselt jedes bei jeder Kreuzung. Damit ist die Orientierbarkeit wohldefiniert.

Eigenschaften

Nicht-Eindeutigkeit der Seiert-Fläche

Die erzeugte Fläche ist von der Projektion abhängig.

Nicht-Perfektheit

Moriah zeigte, dass es Knoten mit einer minimalen Seifert-Fläche mit Geschlecht (Knoten) $g$ gibt, bei denen der Seifert-Algorithmus bei egal welcher Projektion immer ein höheres Geschlecht ausgibt.

Euler Charakteristik

Man kann an jeder Kreuzung eine Kante platzieren. Ist $c$ die Anzahl der Kreuzungen und $s$ die Anzahl der Seifert-Kreise, so berechnet sich die Euler-Charakteristik der resultierenden Seifert-Fläche durch: $\chi =s-c$

Geschlecht

Mit der Euler-Charakteristik lässt sich das Geschlecht (Knoten) berechnen. Dieses ist $g(K)=(c-s+1)/2$

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