Beschreibung
Die Klassengleichung (aus dem Englischen “Class equation”) ist eine einfache Gleichung, die einiges über die Konjugationsklassen einer Gruppe verrät.
Definition
Die Klassengleichung wird als Summe der Mächtigkeiten aller Konjugationsklassen angegeben. Sie ist eine Bahngleichung für die Konjugationsoperation
Herr Gerkmann fasst dabei alle stabilen Elemente zusammen Formal kann sie so
Beispiel
Die Gruppe
Die Alternierende Gruppe hat folgende Konjugationsklassen:
aus diesen fomulieren wir die Klassengleichung:
Mit dieser Gleichung kann man beispielsweise mögliche Normalteiler finden. Ein Normalteiler ist eine Zerlegung von Konjugationsklasse. Außerdem teilt der Normalteiler als Untergruppe. Des Weiteren muss der Normalteiler das Neutrale Element enthalten.
Damit bleiben nur die Möglichkeiten und für Normalteiler übrig.