Dreiecksvergleiche

Beschreibung

Bei Dreiecksvergleichen untersuchen wir die Eigenschaften und Beziehungen von Dreiecken in verschieden gekrümmten Räumen.

Es ist die Weiterentwicklung des Vergleichsscharnier.

Dreiecksvergleich: Winkel

Sei $(M,g)$ Riemannsche Mannigfaltigkeit, mit Krümmung kleiner als $\kappa$.Nehme ein kleines geodätisches Dreieck $(c_1,c_2,c_3)$. Sei $({\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2,{\bar{c}}_3)$ ein vergleichendes Dreieck (d.h. die Längen sind gleich). Dann gilt für jeden Winkel im Dreieck $\alpha \le \bar{\alpha }$

Dreiecksvergleich II: Verallgemeinerte Senkrechte

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Krümmung kleiner als $\kappa$. $U\subseteq M$ total normal und konvex. Sei $(c_1,c_2,c_3)$ ein geodätisches Dreieck in $U$ mit Umfang $\sum l(c_i)\le \frac{2\pi }{\sqrt{\pi }}$. Sei $({\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2,{\bar{c}}_3)$ ein Vergleichsdreieck (gleiche Kurvenlänge) im Modellraum $M_{\kappa }^2$. Sei nun $c_1,\bar{x}\in {\bar{c}}_1$ ein Vergleichspunkt. Seien $p,\bar{p}$ die gegenüberliegenden Ecken. Dann gilt $d(p,x)\le d(\bar{p},\bar{x})$

Dreiecksvergleich III: Abstand zwischen Punkten

Sei $(M,g)$, dessen Sectional curvature von oben durch $\kappa$ beschränkt. $U$ total normal und konvex. Sei $(c_1,c_2,c_3)$ ein Geodätisches Dreieck mit Umfang $\le \frac{2\pi }{\sqrt{\kappa }}$. Sei $({\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2,{\bar{c}}_3)$ ein Vergleichsdreieck in $M_{\kappa }^2$. Seien $x\in c_i,jy\in c_j$ mit Vergleichspunkte $\bar{x},\bar{y}$. Dann gilt: $d(x,y)\le (\bar{x},\bar{y})$

Der letzte Vergleich basierte nur auf einer Metrik. Es bringt uns auf die Idee, Krümmungen, durch die Vergleichsgeometrie zu charakterisieren. Ziel dessen ist die Entwicklung eines CAT(k) Raum.