Länge einer Kurve

Beschreibung

Hier soll die Länge einer Kurve gemessen werden.

Motivation

Länge versucht einer Kurve $\gamma$ eine Zahl $l(\gamma )$ zuzuordnen, sodass

1. Die Länge eines Geradensegments ist gleich dem Abstand von Start- und Endpunkt.
2. Bei der Verkettung (Kurve) summiert sich die Länger der beiden Kurven.

Mit Hilfe der Differenzierung kann man eine noch einfachere Methode entwickeltn, Kurvenlängen zu messen. Vorausgesetzt, die Kurve ist dafür geeignet.

Definition

Die Länge einer Kurve $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ berechnet sich durch: $l(\gamma ):=\sup \text{ges}{\sum }_{i=1}^{n-1}d(\gamma (t_i),\gamma (t_{i+1})):a=t_1<t_2<...t_{n-1}<t_n=b$ wobei die $t_i$ eine Zerlegung von $[a,b]$ sind.

Grenwert einer Kure mit kleiner werdenden Zerlegungen

Sei $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ eine Kurve und wir betrachten eine Folge von Unterteilungen $a=t_{n,1}<t_{n}n,2<...<t_{n,k_n}=b$ für $n,k_n\in \mathbb{N}$. Die Unterteilungen werden immer feiner, d.h. $|t_{n,i}-t_{n,i+1}|<{\delta }_n$ für $i=1,...,k_n$ und eine Folge ${\delta }_n\to 0$:

Dann gilt: ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{k_n-1}d(\gamma (t_{n,i}),\gamma (t_{n,i+1}))=l(\gamma )$ Beweis: Der Beweis hat mich sehr lang gebraucht, aber er hat mir sehr gefallen. Deshalb muss ich ihn aufschreiben.

Wegen der Definition der Länge, muss es eine Unterteilung geben, sodass die der Unterschid der Länge einer Kurve zur Länge von $\gamma$ kleiner als $\epsilon$ ist.

Wir können jetzt diese Unterteilung und die Unterteilung aus der Aufgabenstellung kombinieren. Wir können wegen Stetigkeit der Unterteilung der Aufgabenstellung eine Unterteilung finden, sodass der Unterschied der Länge dieser und der Länge der kombinierten Unterteilung kleiner als $\epsilon$ ist.

Die kombinierte Unterteilung ist aber größer als die erste Abteilung, d.h. die Länge der Unterteilung aus der Aufgabenstellung kann so gewählt werden, dass der Unterschied zur eigentlichen Länge kleiner als $2\epsilon$ für alle $\epsilon >0$ ist.

Eigenschaften

Länge unter Linearer Abbildung

Sei $f=\lambda A+p$ für $A\in O(2)$ eine lineare Abbildung. Danng gilt für eine Kurve $\gamma$: $l(f\circ \gamma )=|\lambda |l(\gamma )$

Problematiken

Nicht rektifizierbare Kurven

Manche Kurven sind nicht rektifizierbar, ihr Länge ist also $\infty$. Dazu gehören die

• Koch’sche Schneeflocke

Kurven mit unterschiedlichem Längengrenzwert

Der Grnezwert einer Kurvenlänge muss nicht gleich der Länge eines Kurvengrenzwerts sein. Zum Beispiel

• Treppenkurvenfolge

\newcommand{\R}{\mathbb R}