Momenterzeugende Funktion

Beschreibung

Mithilfe von Wissen des zweiten Moments, konnten wir das Schwaches Gesetz der Großen Zahlen herleiten und eine Schranke für die Konvergenz angeben. Wie ist es aber, wenn wir höhere Momente kennen? Dann können wir bessere Schranken entwickeln.

Definition

Sei $X$ Vergröberung auf $(\Omega ,\mathcal{A},P)$, dann definiert $L_{X:}\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_0^{+},s\mapsto \mu (e^{sX})$, falls wohldefiniert die Momenterzeugende Funktion

Eigenschaften

Errechenbarkeit der Momente

Mit der Momenterzeugenden Funktion können alle Momente durch Differenzierung errechnet werden: $\frac{d^m}{d{s}^m}{E}_p{e}^{sX}{|}_{s=0}=E_p{X}^m$

Nicht zu verwechseln mit Allgemeine Tschebyscheff-Ungleichung. Diese Ungleichung gibt eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit von hohen (oder niedrigen) Werten.

Exponentielle Tschebyscheff Ungleichung

Für $X$ reellwertige Vergröberung auf $\Omega ,\mathcal{A},P$ gilt $\forall a\in \mathbb{R},s\ge 0$: $\mu (e^{sX})\ge e^{sa}P(X\ge a)$ sowie $P(x\ge a)\le {\inf }_{s\ge 0}(e^{-sa}\mu (e^{sX}))$

Man kann die Ungleichung so anpassen, dass man auch eine Schranke für niedrige Werte erhält.