Symmetriegruppe einer Parkettierung

Beschreibung

Nachdem wir uns die Symmetriegruppe eines Polygons angesehen haben, welche Symmetriegruppe hat eine unendliche Parkettierung?

Definition

Für eine Parkettierung der Euklidischen Ebene $P=\text{ges}{K}_i,i\in I$ ist $Sym(P)=\Gamma =\text{ges}\varphi \in Isom\text{klam}{\mathbb{R}}^2:\forall i\in I\exists j\in I:\varphi (K_i)=K_j$ Es stellt sich die Frage, welche Symmetrien sind denn überhaupt möglich

Translationsanteil

Sei $\Gamma =Sym(P)$. Bezeichne mit ${\Gamma }_0\subseteq {\mathbb{R}}^2$ alle Translationsvektoren sodass für alle $v\in {\Gamma }_0:v+x\in \Gamma$, das heißt, eine Symmetrie der Parkettierung ist.

Linearer Anteil

Sei $\Gamma =Sym(P)$. Bezeichne mit $L_{\Gamma }\subseteq \mathcal{O}(2)$ alle Matrizen sodass für alle $A\in L_P:Ax+b\in \Gamma$ für passendes $b$, das heißt, es gibt einen Punkt der Parkettierung, sodass das Anwenden einer Linearen Abbldung über diesem Punkt die Parkettierung erhält.

Eigenschaften

Diskretheit

Jede Symmetriegruppe einer Parkettierung ist diskret. Damit ist:

• ${\Gamma }_0$ diskret
• $L_{\Gamma }$ endlich

Form von $L_{\Gamma }$

Wege Diskretheit gibt es einen kleinsten Rotationswinkel $\theta$. Jede andere Rotation ist ein Vielfaches der kleinsten Rotation.

Berücksichtigt man Spiegelungen der Ebene, dann ist $L_{\Gamma }$ isomorph zur Zyklische Gruppe oder der Diedergruppe. Der Beweis dafür ist der gleiche wie bei Symmetriegruppe eines Polygons