Symmetrischer Raum

Beschreibung

Wir wünschen uns immer wieder Räume, die gewisse Symmetrie besitzen. z.B. sollen alle Punkte gleich aussehen.

Symmetrischer Raum

$(M,g)$ ist ein (lokal) symmetrischer Raum wenn für alle $p\in M$ die Abbildung $s_p$ eine (lokale) Isometrie ist

Eigenschaften

Vollständig und Homogen

Ein symmetrischer Raum ist vollständig und homogen.

Geodätischer Raum

Aus der Homogenität und der Exsitenz einer einzigen Spiegelung in einem Punkt folgt, dass der Raum geodätisch ist.

Beschreibbar als Quotient

Jeder symmetrischer Raum $M$ ist als ein Quotient $M=G/K$, mit $G=Iso{m}_0(M)$ Lie Gruppe und $K$ kompakte Untergruppe beschreibbar.

Ein Beispiel wäre $P(n)=GL(n,\mathbb{R})/O(n)$.

Beispiel

Modellräume

Jeder Modellraum ist symmetrisch

Orthonormale Gruppe

Sei $O(n)=\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}),A^{T}A=Id\}$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Mit der Spur (Lineare Algebra) wird eine Riemannsche Metrik definiert: $g_A(X,Y)=tr(X^{T}Y)$

Raum aller Skalarprodukte

Sei $P(n)$ die Menge der positiv definiten symmetrischen $n\times n$-Matrizen. Setze eine Riemannsche Metrik durch: $g_p(x,y)=tr(x{p}^{-1}y{p}^{-1})$ Die Metrik passt, da $GL(n,\mathbb{R})\circlearrowleft P(n)$ durch $g\dot{p}=qp{q}^T$ und $s_{Id}(x)=x^{-1}$, $d_p{s}_{Id}=-p^{-1}x{p}^{-1}$