Urnenmodelle

Beschreibung

Die Urnenmodelle sind eine Reihe verschiedener Zufallsexperimente, die prototypisch für viele andere Experimente stehen.

Definition

Ziehen mit Zurücklegen und Reihenfolge

Das Experiment, $n\le m\in \mathbb{N}$ Kugeln aus einer Urne mit $m$ unterscheidbaren Kugeln, mit Zurücklegen und unter Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen, lässt sich wie folgt modellieren: ${\Omega }_1^{n,m}:=[m{]}^{[n]}:=\{\omega :\omega :[n]\to [m]\}$ wobei $[n]:=\{1,...,n\}$

Die Mächtigkeit ist $|{\Omega }_1^{n,m}|=m^n$

Ziehen ohne Zurücklegen und Reihenfolge

Das Experiment $n$ Kugeln aus Urne mit $m$ unterscheidbaren Kugeln, ohne Zurücklegen und unter Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen, lässt sich wie folgt modellieren: ${\Omega }_2^{n,m}=\{\omega \in [m{]}^{[n]}:\omega \text{ injektiv}\}$

Die Mächtigkeit ist $|{\Omega }_2^{n,m}|=m!/(m-n)!$

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge

Das Experiment, $n\le m\in \mathbb{N}$ Kugeln aus einer Urne mit $m$ unterscheidbaren Kugeln, mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen, lässt sich modellieren. Ich werde darauf aber nicht eingehen.

Die Mächtigkeit ist $|{\tilde{\Omega }}_1^{n,m}|=m^n/n!$. Dies kann gar nicht stimmen. Es sollte eine natürliche Zahl herauskommen. Obere Division erlaubt aber Brüche.

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge

Das Experiment, $n\le m\in \mathbb{N}$ Kugeln aus einer Urne mit $m$ unterscheidbaren Kugeln, ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen, lässt sich modellieren. Ich werde darauf aber nicht eingehen.

Die Mächtigkeit ist $|{\tilde{\Omega }}_1^{n,m}|=\frac{m!}{n!(m-n)!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)$.

Ziehen mit Zurücklegen mit festgelegter Farbzahl

Wir stellen uns eine Urne vor. $\alpha \in {\mathbb{N}}^m$ ist eine endliche Folge, die die Anzahl ${\alpha }_k$ der Kugeln einer gegebenen Farbe $k$ angibt. Wir verwenden für die Folge die Multiindexnotation.

Wie viele Möglichkeiten gibt es die Kugeln $\alpha$ ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus $m$ Farben zu ziehen? Berücksichtigen wir im Allgemeinen die Reihenfolge, erhalten wir als Modell: ${\Omega }_{\alpha }=\text{ges}f\in [m{]}^{|\alpha |}:k=1,...,m,|f^{-1}(k)|={\alpha }_k$

Nicht-Berücksichtigung der Reihenfolge gibt das Modell ${\tilde{\Omega }}_{\alpha }:={\Omega }_{\alpha }{/}_{\sim }$ mit $f\sim g⟺\forall j=1,...,m:|f^{-1}(j)|=|g^{-1}(j)|$.

Wir wollen nun die Mächtigkeit von ${\tilde{\Omega }}_{\alpha }$ berechnen. Man kann sich einfach eine Beispielshafte Ziehung von $|\alpha |$ explizit aufschreiben. Alle anderen möglichen Ziehungen sind einfach die $|\alpha |$ Permutationen der Kugelreihenfolge, aus denen wir die $\alpha !$ Permutationen innerhalb der Farben kürzen. Wir erhalten: $|{\tilde{\Omega }}_{\alpha }|=\frac{|\alpha |!}{\alpha !}$

Eigenschaften